【文字/张永刚 图片/计算机科学与技术学院】2025年5月5日，是著名数学家、计算机科学家、教育家和中国人工智能奠基人王湘浩院士（1915-1993）诞辰110周年的日子，为缅怀先生，特撰文纪念。

当无数学子每天在王湘浩楼勤学苦读时，当我们站在王湘浩雕像前仰望时，当学生们因品学兼优荣获王湘浩奖学金而惊喜万分时，当吉林大学校友感恩王湘浩院士开创的数学、计算机学科所带来的一生荣耀时，当很多学生后辈深情回忆与先生的点滴过往时，所有人都自觉或不自觉地受到先生的精神指引和灵魂洗礼。如果要用一首词描述王湘浩先生，大概陆游的《卜算子·咏梅》最合适不过：“无意苦争春，一任群芳妒。零落成泥碾作尘，只有香如故”，作为百花之首和第一君子的梅花，其儒雅、高洁、英雄、无畏、淡泊、开创的品格和精神恰如先生之风，芳香入骨，历久弥香。先生虽已离开我们，但他开创的事业还在蓬勃发展着，还在继续恩泽着众多学子。

格伦瓦尔德-王定理

格伦瓦尔德定理是哈塞指导的博士生格伦瓦尔德（Wilhelm Grunwald, 1909-1989）1932年给出的，对于证明迪克森猜想至关重要，并已在代数界产生了重要的影响。整整十年后，即1942年，阿廷在印第安纳大学指导的博士后惠普尔斯（George W. Whaples, 1914-1981） 给出了一个更为简洁的证明。阿廷让王湘浩阅读有关格伦瓦尔德定理的论文，进一步做相关研究。

1948年春天，阿廷从印第安纳大学带来的博士生米尔斯（William H. Mills,1921-1964）在类域论讨论班上介绍惠普尔斯给出的新证明。因为王湘浩已经对格伦瓦尔德定理研究了一段时间，米尔斯的讲解引起了他极大的兴趣。他当时正设法证明一个关于代数数域中单代数上正则元素可构成群的结论，需要把格伦瓦尔德定理加以推广，这时他发现了格伦瓦尔德扩张不是永远存在的。

王湘浩从讨论班回去后，对两篇论文进行了深入的研究，尤其对证明的细节进行了反复的推敲。很快他发现证明中用到的关键引理有问题，并全心致力于给出更加完美确凿的论证。经过一段相对沉寂的研究时间，突然有一天，王湘浩来到了阿廷教授的办公室，当时阿廷正和他的另外一个博士生泰特（John Tate）讨论问题。王湘浩说他找到了格伦瓦尔德定理的问题，即发现一个证明过程中用到的关键引理的反例，并马上给阿廷等人现场推导，边推导边讲解，1-2个小时之后，王湘浩展示了整个反例，即：

王湘浩给出的反例（图片来自《中国近代代数史简编》，冯绪宁、袁向东著）

这让阿廷大为震惊，以他对类域论的熟悉程度，几乎不用深入考虑就做出了判断：王湘浩说的完全正确，并且这将是数学界的一个大事。阿廷的震惊是有道理的，作为一位杰出的代数学家、教育家，他以研究内容又宽又深闻名，尤以讲课清晰、逻辑性强、严谨著称。对于格伦瓦尔德定理，他本人很熟悉也特别欣赏，已在课堂和讨论班上讲过十次以上。

当时在场的泰特深受震撼。多年后，他回忆当时的场景动情地说到：“. . . Of course he [Artin] was astonished, as were all of us students, that a famous theorem with two published proofs, one of which we had all heard in the seminar without our noticing anything, could be wrong. But it was a good lesson!”。

的确，这个场景对于数学大师阿廷本人以及他的众多弟子都是重要的一课，王湘浩敢于对被代数界广泛认可的格伦瓦尔德定理公开质疑并提供有力反例，这也是一个载入数学史的难忘时刻，也展示了青年王湘浩身上弥足珍贵的不迷信权威的精神，正如古希腊哲学家亚里士多德所言“吾爱吾师，但吾更爱真理”。

之后王湘浩在数学界顶级期刊《数学年刊》（Annals of Mathematics）上发表了只有一页半的著名论文《关于格伦瓦尔德定理的反例（A Counter-Example to Grunwald's Theorem）。

1948年王湘浩在数学年刊上发表的著名学术论文

《关于格伦瓦尔德定理的反例》

汤涛院士曾这样评价《数学年刊》的学术地位：“纯粹数学家们都把能在普林斯顿大学数学系编辑的《数学年刊》(Annals of Mathematics)上刊登一篇论文看成一生中无上的荣誉，原因就是它发表的都是质量上乘的创造性成果，是数学界最有分量的杂志之一，相当于英国的《自然》或美国的《科学》在自然科学领域的影响力。有人曾戏称，《数学年刊》上发表的一篇文章就可能成为著名大学数学系终身教职的敲门砖。”由此可见，王湘浩这篇论文的分量。

更为重要的是，这篇论文使迪克森猜想又变成了未予证明的猜想，从而动摇了有理单纯代数的理论。1948年11月，王湘浩在他的博士论文中，纠正了格论瓦尔德定理的错误，并将该定理做了推广，重新证明了迪克森猜想。当时芝加哥大学数学系主任阿尔贝特教授曾邀请王湘浩就这一重要成果在芝加哥大学作了学术讲演。研究结果发表在1950年51卷第2期的《数学年刊》上，世称格伦瓦尔德-王定理（Grunwald-Wang Theorem），它也成为国际数学界由中国数学家发现问题并修正的为数不多的著名定理之一。

1943年，中山正（Tadashi Nakayama, 1912-1964）和松岛与三（Yozo Matsushima,1921-1983）证明了局部域上单纯代数交换子群等于其么模子群。王湘浩利用自己所推广的格伦瓦尔德定理证明了上述两群在代数数域情形下仍相等；而且在一般域情形下，当指数无平方因子时，二群也相等。在最一般情形下结论会是怎样的呢？这一问题在以后兴起的代数Ｋ理论和代数群论中很重要。在前苏联，这个问题称为田中－阿廷问题。实际上，阿廷并未具体提出上述问题，而是王湘浩在上述论文中提出的。

马斯（Hans Maass，1911-1992）模定理的证明中使用了格伦瓦尔德定理，因后者所含错误，马斯模定理的原证已不成立。爱区勒（Martin M. E. Eichler，1912-1992）曾不用格伦瓦尔德定理就证明了模定理，但论证非常复杂。王湘浩曾用他修改后的格伦瓦尔德定理给出过一个证明。后来，他又给出了一个不用格伦瓦尔德定理的非常简单的证明。

阿廷与泰特在1967年出版了专著《类域论》（Class Field Theory），首次提出了类结构的概念，并将局部的和整体的、数域的和代数函数域的类域论纳入同一个公理化体系中。其中第十章为格伦瓦尔德-王定理，阿廷本人为此写了很长的注解，说明了从格伦瓦尔德定理到格伦瓦尔德-王定理的传奇历程，表达了对王湘浩批判精神的赞赏和推崇，注解最后特别提到“This chapter is ...in the light of Wang’s discovery.”。毫不夸张地说，王湘浩的工作挽救了有理单纯代数理论的这一危机，震动了当时的国际代数学界。定理证明的传奇过程也一直为数学史家们所津津乐道。

阿廷与泰特于1967年合作出版了专著《类域论》